投资学(第4版)-第43部分
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两条可能的资本配置线（C A L）从无风险利率（rf ＝5％）连到两种可行的资产组
合。第一条可能的资本配置线通过最小方差的资产组合A，即由8 2％的债券与1 8％的股
票组成的资产组合（表8 … 3底部）。资产组合A的期望收益为8 。 9％，标准差为11 。 4 5％。
由于国库券利率为5％，酬报与波动性比率，即资本配置线的斜率为
E（rA ） … rf 8。9 … 5
SA = 0。34
11。45
A
现在考虑用资产组合B替代资产组合A，资产组合B中7 0％为债券，3 0％为股票，
它的期望收益率为9 。 5％（风险溢价为4 。 5％），标准差为11 。 7％。因此，该资产组合的资
本配置线的酬报与波动性比率为
9。5 … 5
SB 0。38
11。7
这个值比我们用最小方差的资产组合与国库券所得到的资本配置线的酬报与波动
性比率要大，因此，资产组合B超过了资产组合A。
但是为什么要在资产组合B处就停止呢？我们让资本配置线变动，最终使它的斜
182 第二部分资产组合理论
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率与投资机会集合的斜率一样，这将获得有最高的、可行的酬报与波动性比率的资本
配置线。因此，相切的资产组合P（图8 … 7）就是加入国库券的最优风险资产组合。从
图8 … 7中，我们可以发现资产组合P的期望收益与标准差为
E（rP）＝11％
P ＝1 4 。 2％
期望收益率（％）
风险资产的机会集
标准差（％）
图8…7 最优资本配置线的债务与股权基金的机会集合与最优风险资产组合
在实践中，我们用计算机程序来解出最优的资产组合，我们可以简单描述一下这
个过程。
目的是找出权重wD和wE，以使资本配置线的斜率最大（即，这个权重使风险资产
组合的酬报与波动性比率最高）。因此，目标就是使资本配置线的斜率p最大，目标函
数就是斜率，即Sp，有
E（rp ） … rf
S =
p
p
对于包含两种风险资产的资产组合p，它的期望收益和标准差为
E（rp ） = w DE（ rD ） ＋ w EE（rE ） = 8wD ＋13 wE
p = ＇ w2
DD
2 ＋ wE
22
E ＋ 2w DwE Cov（rD ； rE ）＇1/2
= ＇144wD
2 ＋ 400wE
2 ＋ （2 ′ 72w Dw E ）＇1/2
当我们要得知目标函数Sp的最大值时，必须满足一个限制条件，即权重和等于1，
wE＋wD ＝1，这样我要解以下的数学题：
E（r ） … rMax S= pf
p
wi
p
因为。wi ＝1，这是一个标准微积分问题。
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第8章最优风险资产组合
183
在共有两种风险资产的条件下，最优风险资产组合（optimal risky portfolio）P的
权重解可表示如下：＇ 1 ＇
＇E（rD ） … rf ＇ E
2 … ＇E（rE ） … rf ＇Cov（rD； rE ）
w =
D 22
＇E（ rD ） … rf ＇ ＋ ＇E（rE ） … rf ＇ D … ＇E（rD ） … rf ＋ E（rE ） … rf ＇Cov（ rD ； rE ） （ 8 … 7 ）
E
w = 1 … w
ED
把我们的数据代进去，得到的解为
wD ＝＇ （ 8…5 ） 4 0 0…（ 1 3…5 ） 7 2 ＇/＇ （ 8…5 ） 4 0 0＋（ 1 3…5 ） 1 4 4…（ 8…5＋1 3…5 ） 7 2 ＇＝0 。 4 0
wE ＝1…0 。 4 0＝0 。 6 0
这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为
E（rp）＝（ 0 。 4×8 ）＋（ 0 。 6×1 3 ）＝11％
＝＇ （ 0 。 42×1 4 4 ）＋（ 0 。 62×4 0 0 ）＋（ 2×0 。 4×0 。 6×7 2 ） ＇1 / 2＝1 4 。 2％
这个最优资产组合的资本配置线的斜率为：
SP ＝（ 11…5 ） / 1 4 。 2＝0 。 4 2
这也是资产组合P的酬报与波动性比率。我们注意到这个斜率大于任一可能的其
他资产组合的斜率。因此这是可得到的最优资本配置线的斜率。
在第7章中，在给定最优风险资产组合和由这个资产组合与国库券产生的资产配
置线下，我们找到了一个最优的完整资产组合。现在我们已经构造了一个最优风险资
产组合P，我们用一个个人的投资风险厌恶程度A来计算投资于完整资产组合的风险部
分的最优比例。
一个风险厌恶相关系数为A＝4的投资者，他在资产组合P中的投资头寸为＇ 2 ＇
p
E（rP ） … rf 11 … 5
y = 2 0。743 9 （ 8 … 8 ）
0。01 ′ A
0。01 ′ 4 ′ 14。2 2
P
因此，这个投资者将7 4 。 3 9％的财产投资于资产组合P，2 5 。 6 1％的资产投资于国库
券。资产组合P中包括4 0％的债券，因此债券所占的比例为y wD ＝0 。 4×0。743 9＝0。297 6，
即2 9 。 7 6％。同样，投资于股票的权重为y wE ＝0 。 6×0。743 9＝0。446 3，即4 4 。 6 3％。这个
资产配置问题的图表解在图8 … 8和图8 … 9中给出。
一旦我们做到这一点，一般化为多种风险资产也是可行的。在更进一步分析之前，
我们先简要小结一下完成一个完整的资产组合的步骤：
1） 确定所有各类证券的回报特征（例如期望收益、方差、斜方差等）。
2） 建造风险资产组合：
a。 计算最优风险资产组合P（8 … 7式）；
b。 运用步骤（a）中确定的权重和8 … 1式与8 … 2式来计算资产组合P的资产。
3） 把基金配置在风险资产组合和无风险资产上：
a。 计算资产组合P（风险资产组合）和国库券（无风险资产）的权重（8 … 8式）；
b。 计算出完整的资产组合中投资于每一种资产和国库券上的投资份额。
在进行进一步分析之前，我们回忆一下两种风险资产：债券与股票的共同基金，
它们都是已经分散化的资产组合。这些在各自资产组合内的分散化必然比没有分散的
＇1＇ 两种风险资产的求解过程如下：从8 … 1式取代E（rp），从8 … 5式取代
，用1…wD 代替wE，用wD对Sp求导，
令导数为零，解wD。
p
＇2＇ 正如前面提及的，分母上的0 。 0 1是一个测度尺度因素，我们测度收益用的是百分比，而不是小数。如
果我们用小数而不是用百分比（例如0 。 0 7而不是7％），我们在分母中就不用0 。 0 1。注意，转为用小数
将可以使分子与分母简化。
184 第二部分资产组合理论
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期望收益率（％）
无差异曲线
风险资产的机会集
最优风险资产组合
最优完全
资产组合
标准差（％）
图8…8 最优全部资产组合的决定
单一证券的风险要大大降低。例如，平均
股票收益率的标准差约为5 0％（参见图8 … 2），
相比较，我们的股票指数基金的标准差只
有2 0％，大约等于标准普尔5 0 0资产组合的
历史标准差。这就是一类资产中分散化的
重要性的证据。优化资产在债券与股票之
间的配置，可以有利于改善整个资产组合
的酬报与波动性比率。股票、债券与国库
券的资本配置线（参见图8 … 7）显示了整个
资产组合的标准差将进一步降低至1 8％，
并维持原有的与股票资产组合相同的1 3％
的期望收益率。
概念检验
问题3：可选择的证券包括两种风险股票基金：A、B和国库券，所有的数据如下：
图8…9 最优全部资产组合的比例
资产组合P
74。39％
股票
44。63％
债券
29。76％
国库券
25。61％
名称期望收益（％）标准差（％）
股票基金A 1 0 2 0
股票基金B 3 0 6 0
国库券5 0
基金A和B的相关系数为－0 。 2
a。 画出基金A与B的机会集合。
b。 找出最优风险资产组合P及其期望收益与标准差。
c。 找出由国库券与资产组合P支持的资本配置线的斜率。
d。 当一个投资者的风险厌恶程度A＝5时，应在股票基金A、B和国库券中各投资
多少？
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第8章最优风险资产组合
185
8。4 马克维茨的资产组合选择模型
证券选择
我们可在多种风险证券和无风险资产中间进行资产组合的构造。在两种风险资产
的例子中，问题分为三个部分，第一，我们要从可能的风险资产组合中识别出风险…收
益组合。第二，我们通过资产组合权重的计算，找出最优风险资产组合，此时有最大
斜率的资本配置线。最后，我们通过加入无风险资产，找到完整的资产组合。在详细
介绍这一过程之前，我们先做一概述。
第一步是决定投资者可能的风险…收益机会，它们用风险资产的最小方差边界
（minimum…variance frontier）来表示。这一边界表示为在给定期望收益的条件下，可
获得资产组合的最低可能方差的图形。在给定一组期望收益、方差和协方差数据时，
我们可以计算出任何有特定期望收益的资产组合的最小方差。对期望收益与标准差相
对应的点进行连接，就可以得到图8 … 1 0。
有效边界
最小方差边界
个人资产
全球最小方
差资产组合
图8…10 风险资产的最小方差边界
应该注意的是，所有单个资产都位于边界的内右侧，至少当我们允许通过卖空来
构造风险资产组合时是这样的。＇1＇ 这告诉我们，风险资产组合只含单一资产是无效率
的，分散化投资将带来更高的收益和更低的标准差。
所有落在最小方差边界上，从全局最小方差资产组合往上都是可能的最优风险
收益组合，因而是最优的资产组合。落在全局最小方差以上的边界被称为有效率边界
（e fficient frontier）。因为对于所有低于最小方差边界的资产组合，都可以在它正上方
找到一个相同的标准差，但收益更大的资产组合，因此在全局最小方差边界以下部分
的资产组合是无效率的。
优化计划的第二部分涉及到无风险资产。和以前一样，我们寻找一条有最高酬报
与波动性比率的资本配置线（即有最陡斜率的资本配置线）。参见图8 … 11 。
最优风险资产组合P的资本配置线与有效率边界相切。这条线优于任一条可能的
线（虚线穿过了边界），资产组合P是最优风险资产组合。
最后，第三个问题是单个投资者要选择出最优风险资产组合与国库券间的资产组
合，这正是图8 … 8所作的。
现在让我们更详细地考察一下资产组合构造的每一部分。问题的第一部分是风
＇1＇ 当卖空被禁止时，单个证券可能会落在边界上。例如，有最高期望收益的证券必定落在边界上。因为这
一证券代表唯一一种能获得如此高收益的方法，它一定也是最小方差时的收益。当卖空可行时，构造出
的资产组合可以获得更低的方差。这些资产组合非常典型地在低期望收益证券中拥有空头头寸。
186 第二部分资产组合理论下载
险…收益分析，资产组合的管理者需要资产组合中每一证券的期望收益的一组估计值
和协方差矩阵的一组估计值（在第五部分的证券分析中，我们将考察证券估价的技巧
和财务分析师所用的财务分析方法。现在，我们假设分析师已经通过努力得到了这些
数据）。
图8 … 11 有最优资本配置线的风险资产的有效率边界
假设资产组合计划是一年期的，因此所有的估计与一年期相匹配。我们的证券分
析涉及n种证券，以现在为起点，时间为零，我们观察这些证券的价格： P1
0，。，Pn
0。
分析师估计出每种证券一年后（时间1）的期望价格：E（P1
1），。，E（Pn
1），和这一时期
的期望股息E（D1），。，E（Dn）。期望收益率的集合可以通过以下公式计算得到。
各种证券的收益率的协方差（斜方差矩阵）一般是通过历史数据估算的，另一种
可以作为历史分析法的替代，也可以看作是其补充的方法是对所有证券可能的收益进
行情景分析。
现在资产组合经理已经拥有n个E（r）的估计值和n×n协方差矩阵的估计值，其中对
角线上是n个方差， i
2的估计，n2…n＝n（n…1 ）个非对线角线上的元素为任两种证券收益
的协方差的估计值（你可以从表8 … 2中看到n＝2时的情况）。我们知道每个协方差会在
表中出现两次，因此准确地说我们有n（n…1 ） / 2个不同的协方差估计值。如果我们的资
产组合管理单位有5 0种证券，我们的证券分析师需要得到5 0个期望收益率的估计值、
5 0个方差的估计值和5 0×4 9 / 2＝1 255个不同的协方差估计值。这是一个令人生畏的工
作（下面的章节中我们会给出如何显著地减少这些估算工作的方法）！
一旦估算工作完成，任一个每种证券权重为wi的风险资产组合的期望收益和方差
都可通过协方差矩阵或以下公式计算得到：
（ 8 … 9 ）
（ 8 … 1 0 ）
在下一节，我们将向你展示一个利用表格计算的例子。
我们所提到的分散化的概念是古老的，“不要把你所有的鸡蛋放在一个篮子里”
这句俗语�
